Estimation and Quantization of Expected Persistence Diagrams
期望持续图的估计与量化AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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期望持续图的估计与量化
- 研究问题
- 持续图空间具有非线性几何时，如何为随机拓扑描述构造可估计的统计摘要，并缩小其支持集以便实际计算和使用？
- 方法与思路
- 作者研究作为二维平面上测度的期望持续图，以经验测度估计它，并提出量化算法，将支持集较大的经验摘要压缩为小支持测度。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称经验期望持续图在一大类模型上以参数收敛速度达到极小极大最优，其量化结果以近最优速度逼近理论量化对象。
- 阅读关注点
- 应核对模型类、误差距离和极小极大下界，区分估计误差与量化误差，并检查算法保证、支持集大小和计算成本之间的关系。
- 阅读边界
- 所据为 arXiv 预印本，不能据此确认同行评审或期刊接收；摘要未说明损失函数、模型限制及近最优速度的具体形式。
原文摘要
Persistence diagrams (PDs) are the most common descriptors used to encode the topology of structured data appearing in challenging learning tasks; think e.g. of graphs, time series or point clouds sampled close to a manifold. Given random objects and the corresponding distribution of PDs, one may want to build a statistical summary-such as a mean-of these random PDs, which is however not a trivial task as the natural geometry of the space of PDs is not linear. In this article, we study two such summaries, the Expected Persistence Diagram (EPD), and its quantization. The EPD is a measure supported on R 2 , which may be approximated by its empirical counterpart. We prove that this estimator is optimal from a minimax standpoint on a large class of models with a parametric rate of convergence. The empirical EPD is simple and efficient to compute, but possibly has a very large support, hindering its use in practice. To overcome this issue, we propose an algorithm to compute a quantization of the empirical EPD, a measure with small support which is shown to approximate with near-optimal rates a quantization of the theoretical EPD.