High-dimensional regression with noisy and missing data: Provable guarantees with nonconvexity
含噪声与缺失数据的高维回归：非凸性下的可证保证AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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含噪声与缺失数据的高维回归：非凸性下的可证保证
- 研究问题
- 研究问题：在数据同时存在噪声、缺失和/或相依结构时，高维稀疏线性回归如何构造估计量，并同时获得统计误差与算法收敛的理论保证。
- 方法与思路
- 方法思路：作者提出针对噪声、缺失和/或相依数据的新型估计量，其目标函数为非凸优化问题；摘要称可分析任意全局最优解的统计误差，并证明基于投影梯度下降的简单算法在多项式时间内收敛到全局极小解集的小邻域。
- 材料陈述的贡献
- 摘要所述贡献：给出噪声、缺失和/或相依情形下以高概率成立的非渐近统计误差界；并在与统计一致性所需条件相同的前提下，证明投影梯度下降以几何速率收敛到近似全局极小解，仿真结果与预测的尺度关系接近。
- 阅读关注点
- 阅读时应核对：非凸目标的具体形式与识别条件、噪声与缺失机制假设、相依结构的刻画方式、非渐近界所依赖的维数与稀疏度条件，以及投影梯度下降收敛结论的步长与初始化要求。
- 阅读边界
- 摘要信息的边界：仅凭摘要无法判断假设是否现实、证明细节是否正确、仿真规模与真实数据表现；且该文为 arXiv 预印本，未经同行评审验证，不能据此声称已被期刊接收。
原文摘要
Although the standard formulations of prediction problems involve fully-observed and noiseless data drawn in an i.i.d. manner, many applications involve noisy and/or missing data, possibly involving dependence, as well. We study these issues in the context of high-dimensional sparse linear regression, and propose novel estimators for the cases of noisy, missing and/or dependent data. Many standard approaches to noisy or missing data, such as those using the EM algorithm, lead to optimization problems that are inherently nonconvex, and it is difficult to establish theoretical guarantees on practical algorithms. While our approach also involves optimizing nonconvex programs, we are able to both analyze the statistical error associated with any global optimum, and more surprisingly, to prove that a simple algorithm based on projected gradient descent will converge in polynomial time to a small neighborhood of the set of all global minimizers. On the statistical side, we provide nonasymptotic bounds that hold with high probability for the cases of noisy, missing and/or dependent data. On the computational side, we prove that under the same types of conditions required for statistical consistency, the projected gradient descent algorithm is guaranteed to converge at a geometric rate to a near-global minimizer. We illustrate these theoretical predictions with simulations, showing close agreement with the predicted scalings.