Asymptotic Properties of Estimators of a Location Parameter
位置参数估计量的渐近性质AI 解读 ↓
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位置参数估计量的渐近性质
- 研究问题
- 在联合分布已知的位置模型中，不额外施加分布正则条件时，能否构造渐近有效估计量，并确定其他估计量的风险下界？
- 方法与思路
- 作者研究不变估计量的渐近分布，并用对参数加权积分的截断平方损失建立风险下界及达到下界时的估计量比较。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，存在以逆 Fisher 信息为渐近协方差的不变估计量，并给出积分风险下界和达到下界时与该估计量的接近结论。
- 阅读关注点
- 应核对 Fisher 信息及其逆的定义、退化情形的处理、截断损失的极限顺序，以及接近结论采用何种概率意义。
- 阅读边界
- 仅据稿件版本未注明的 OpenAlex 摘要，无法核验信息矩阵的适用边界；作者所称无需正则条件限于所述已知分布位置模型。
原文摘要
Consider the problem of estimating the location parameter $\theta \in R^d$ based on a sample of size $n$ from $(\theta + X, Y)$, where $X$ is a $d$-dimensional random vector, $Y$ is a random element of some measure space, and $(X, Y)$ has a known distribution. Let $\mathscr{J}^-$ denote the corresponding inverse Fisher information matrix. We show that there is always an invariant estimator $\hat{\theta}_n$ such that $\mathscr{L}(n^{\frac{1}{2}}(\hat{\theta}_n - \theta)) \rightarrow N(0, \mathscr{J}^-)$ as $n \rightarrow \infty$. Let $\rho$ be a fixed probability density on $R^d$, let $\tilde{\theta}_n$ be any estimator of $\theta$ and set $R_n(c) = \int \rho(\theta)d\theta E_\theta \min (c, n|\tilde{\theta}_n - \theta|^2)$. We show that $\lim_{c\rightarrow\infty} \lim\inf_{n\rightarrow\infty} R_n(c) \geqq$ trace $\mathscr{J}^-$ and that if $\lim_{c\rightarrow\infty} \lim\sup_{n\rightarrow\infty} R_n(c) =$ trace $\mathscr{J}^-$, then $\lim_{n\rightarrow\infty} \int \rho(\theta) d\theta P_\theta(n^{\frac{1}{2}}|\tilde{\theta}_n - \hat{\theta}_n| \geqq c) = 0$ for all $c > 0$. These results are obtained with no regularity conditions imposed on the distribution of $(X, Y)$.