An Exact Cholesky Decomposition and the Generalized Inverse of the Variance–Covariance Matrix of the Multinomial Distribution, with Applications
多项分布协方差矩阵的精确 Cholesky 分解、广义逆及应用AI 解读 ↓
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多项分布协方差矩阵的精确 Cholesky 分解、广义逆及应用
- 研究问题
- 如何利用多项分布协方差矩阵的特殊结构，简化其分解、广义逆与相关计算，尤其应对概率量级差异较大的情形？
- 方法与思路
- 作者给出无平方根 Cholesky 分解的符号公式、Moore–Penrose 逆的显式公式，并推导抽样公式及密度近似的对称表示。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，符号分解所需运算少于通用算法，并有助于病态矩阵处理、统计建模及模拟；分解元素还具有概率解释。
- 阅读关注点
- 应核对概率向量的适用范围、矩阵奇异性处理、各显式公式的推导，以及运算量比较和数值稳定性主张的具体依据。
- 阅读边界
- 仅据 Crossref 摘要；摘要未列出公式、边界概率的处理或数值误差证据，不能将符号公式的性质直接等同浮点计算保证。
原文摘要
SUMMARY A symbolic formula is given for the square-root-free Cholesky decomposition of the variance–covariance matrix of the multinomial distribution. The evaluation of the symbolic Cholesky factors requires much fewer arithmetic operations than does the general Cholesky algorithm. Since the symbolic formula is not affected by an ill-conditioned matrix, it is particularly useful when the elements of a probability vector are of quite different orders of magnitude. A simpler formula is obtained for Pederson's procedure of sampling from a multinomial population. An explicit formula of the Moore–Penrose inverse of the variance–covariance matrix is given as well as a symmetric representation of a multinomial density approximation to the multinomial distribution. These formulae facilitate symmetric manipulation of the matrix and are useful in statistical modelling and computation involving the logistic density transformation of the multinomial distribution and in computer simulations of dynamic models in population genetics. Each element of the Cholesky factors is given interesting probabilistic interpretations.