Large Sample Theory for $U$-Statistics and Tests of Fit
U 统计量与拟合优度检验的大样本理论AI 解读 ↓
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U 统计量与拟合优度检验的大样本理论
- 研究问题
- 在样本分布随样本量变化、并满足与基准分布的相邻性条件时，退化 U 统计量如何形成拟合优度检验的极限理论？
- 方法与思路
- 作者研究对称、平方可积且退化核的 U 统计量极限分布，应用于卡方与 Cramér–von Mises 检验。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，结果覆盖简单假设及需估计参数的部分拟合优度检验，并引入一种对尾部敏感的正态性检验。
- 阅读关注点
- 阅读全文时应核对相邻性条件、核的退化定义和统计量归一化，并检查参数估计对检验极限分布的影响。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明；摘要未提供完整极限分布或功效比较，尾部敏感不等于金融尾部风险分析。
原文摘要
Let $X_{ni}, i = 1, \cdots, n$ be i.i.d. random variables on an arbitrary measurable space $(\mathscr{X}, B)$. Suppose $\mathscr{L}(X_{ni}) = Q_{n1}, i = 1, \cdots, n$ and let $P_0$ be a fixed probability measure on $(\mathscr{X}, B)$. We consider limiting distribution theory for $U$-statistics $T_n = n^{-1} \sum_{i \neq j} Q(X_{ni}, X_{nj})$ (1) under conditions which imply the product measures $Q_n = Q_{n1} \times \cdots \times Q_{n1}, n$ times, are contiguous to the product measures $P_n = P_0 \times \cdots \times P_0, n$ times, and (2) for kernels $Q$ which are symmetric, square-integrable $(\int Q^2(\bullet, \bullet) dP_0 \times P_0 < \infty)$ and degenerate in a certain sense $(\int Q(\bullet, t)P_0(dt) = 0 \mathrm{a.e.} (P_0))$. Applications to chi-square and Cramer-von Mises tests for a simple hypothesis and Cramer-von Mises tests for the case when parameters have to be estimated, are given. A tail sensitive test for normality is introduced.