Downdating the Moore-Penrose Generalized Inverse for Cross-Validation of Centred Least Squares Prediction
中心化最小二乘预测交叉验证中的 Moore–Penrose 广义逆降更新AI 解读 ↓
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中心化最小二乘预测交叉验证中的 Moore–Penrose 广义逆降更新
- 研究问题
- 对采用 Moore–Penrose 广义逆的中心化最小二乘预测，如何通过降更新计算删去观测后的回归系数？
- 方法与思路
- 作者从对称矩阵的值域关系出发，推导广义逆作用于向量的表达式，再扩展到逆矩阵本身和多向量情形。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称给出中心化最小二乘系数的降更新公式，并进一步推导广义逆及其向量乘积的更一般更新表达式。
- 阅读关注点
- 应核对矩阵值域条件、删除观测与中心化的对应关系，以及多向量扩展在交叉验证中的适用范围和稳定性。
- 阅读边界
- 仅据 Crossref 摘要；其中矩阵表达式含不清楚的符号，需查阅原 PDF，不能据此重构公式或判断数值性能。
原文摘要
SUMMARY Given a p × p symmetric matrix B and a p-vector c outside the range of B, a simple expression is formulated for the action of the Moore-Penrose generalized inverse B + on a vector b in the range of B, in terms of b, c and (B + cc‱)+. A special case of this formula gives a ‘downdating’ formula for the vector of least squares regression coefficients based on the Moore-Penrose inverse of the centred sum of squares and products matrix. The formula is analogous to that given by A. Albert for uncentred least squares fitting. An explicit downdating formula for the Moore-Penrose inverse B + itself is derived, and then more general downdating expressions for the inverse and the vector B + b when the p-vector c is replaced by a matrix array C of such vectors outside the range of B.