Polynomial Log-Marginals and Tweedie's Formula : When Is Bayes Possible?
多项式对数边际密度与 Tweedie 公式：何时存在贝叶斯解释？AI 解读 ↓
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多项式对数边际密度与 Tweedie 公式：何时存在贝叶斯解释？
- 研究问题
- 直接拟合边际密度的经验贝叶斯规则何时对应有效先验，多项式对数边际密度是否总能具有正式贝叶斯解释？
- 方法与思路
- 作者考察指数族模型中对数边际密度与先验的相容性，并通过热方程的有界延拓条件诊断高斯卷积结构。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称三次及以上多项式对数边际不能来自有效先验，二次形式对应高斯先验，并提出超越凸性条件的诊断。
- 阅读关注点
- 应核对指数族及观测模型的具体范围、多项式结论的条件，以及热方程延拓条件为何只是所述必要条件。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收未经核实；摘要未展开模型限制，不能把结论推广至所有贝叶斯模型。
原文摘要
Motivated by Tweedie's formula for the Compound Decision problem, we examine the theoretical foundations of empirical Bayes estimators that directly model the marginal density $m(y)$. Our main result shows that polynomial log-marginals of degree $k \ge 3 $ cannot arise from any valid prior distribution in exponential family models, while quadratic forms correspond exactly to Gaussian priors. This provides theoretical justification for why certain empirical Bayes decision rules, while practically useful, do not correspond to any formal Bayes procedures. We also strengthen the diagnostic by showing that a marginal is a Gaussian convolution only if it extends to a bounded solution of the heat equation in a neighborhood of the smoothing parameter, beyond the convexity of $c(y)=\tfrac12 y^2+\log m(y)$.