The spectrum of kernel random matrices
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核随机矩阵的谱
- 研究问题
- 当变量维度与样本量同阶时，基于内积或距离构造的核矩阵具有什么谱性质，非线性主成分分析还能保留怎样的非线性？
- 方法与思路
- 作者分析独立高维数据向量生成的核随机矩阵，其元素由局部光滑函数作用于标准化内积或距离得到，研究相应谱行为。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称所分析模型在高维下本质上趋于线性，并讨论常用随机矩阵模型的特殊性质及其描述实际高维数据的局限。
- 阅读关注点
- 核对数据向量分布、维度比例和核函数的条件，以及所谓本质线性对应的精确谱结论与可推广的模型范围。
- 阅读边界
- 仅据稿件版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；线性化仅针对所分析模型，不能推广至所有核方法，具体条件与谱定理未说明。
原文摘要
We place ourselves in the setting of high-dimensional statistical inference where the number of variables p in a dataset of interest is of the same order of magnitude as the number of observations n. We consider the spectrum of certain kernel random matrices, in particular n×n matrices whose (i, j)th entry is f(X'iXj/p) or f(‖Xi−Xj‖2/p) where p is the dimension of the data, and Xi are independent data vectors. Here f is assumed to be a locally smooth function. The study is motivated by questions arising in statistics and computer science where these matrices are used to perform, among other things, nonlinear versions of principal component analysis. Surprisingly, we show that in high-dimensions, and for the models we analyze, the problem becomes essentially linear—which is at odds with heuristics sometimes used to justify the usage of these methods. The analysis also highlights certain peculiarities of models widely studied in random matrix theory and raises some questions about their relevance as tools to model high-dimensional data encountered in practice.