High-dimensional ridgeless least squares interpolation under spiked covariance structures
尖峰协方差结构下高维无岭最小二乘插值的预测风险AI 解读 ↓
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尖峰协方差结构下高维无岭最小二乘插值的预测风险
- 研究问题
- 研究特征维度 p 与样本量 n 按比例增长时，无岭最小二乘插值的样本外预测风险，以及潜在尖峰结构如何影响过拟合。
- 方法与思路
- 作者在广义尖峰总体协方差模型中分析风险极限，允许尖峰数量固定或增长、强度有界或发散，并考察回归系数与尖峰子空间的对齐。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，尖峰方向上的信号能量决定良性、温和或灾难性过拟合，并在有限四阶矩条件下刻画风险极限及尖峰结构对双下降的影响。
- 阅读关注点
- 应核对各类过拟合的定义、对齐程度的度量，以及风险极限所需的完整条件；重点检查尖峰数量与强度共同增长时的适用范围。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此声称已同行评审或期刊接收；摘要未给出风险公式和完整假设，有限四阶矩不能视为唯一条件。
原文摘要
This paper investigates the asymptotic behavior of the out-of-sample prediction risk of the high-dimensional ridgeless least-squares estimator when the feature dimension $p$ and the sample size $n$ grow proportionally. We consider a generalized spiked population covariance model with multiple latent factors, where the number of spiked eigenvalues may remain finite or increase with $n$, and the spiked eigenvalues may be bounded or diverge at arbitrary rates. Beyond characterizing the impact of covariance spectra, we reveal a new mechanism underlying benign overfitting: the prediction behavior of ridgeless interpolation is fundamentally governed by the alignment between the regression coefficient $\boldsymbolβ$ and the spiked eigenspaces of the population covariance matrix. In particular, we show that the signal energy distributed along latent spike directions determines whether interpolation leads to benign, tempered, or catastrophic overfitting. Our theoretical framework establishes sharp prediction risk limits under minimal moment conditions, requiring only finite fourth moments rather than Gaussianity. We characterize how the number, strength, and geometric structure of the spikes jointly influence the double-descent phenomenon. These results provide a unified understanding of when latent covariance structures facilitate or hinder generalization in overparameterized regression.