On the Attainment of the Cramer-Rao Lower Bound
论克拉默–拉奥下界的达到AI 解读 ↓
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论克拉默–拉奥下界的达到
- 研究问题
- 无偏估计量的方差达到克拉默–拉奥下界，是否必然要求分布属于单参数指数族？作者考察这一常见说法的适用边界。
- 方法与思路
- 作者修改正则条件，研究更一般的分布类，并考察涉及概率密度对数的函数对参数绝对连续时，分布类如何受到限制。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，更广分布类可在参数区间几乎处处甚至处处达到下界；加入所述绝对连续性限制后，该类才缩减为指数族。
- 阅读关注点
- 应核对新旧正则条件的差别、更一般分布类的构造，以及几乎处处与处处达到下界分别需要哪些条件。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要，无法判断具体分布构造及证明细节；不能将结论推广到任意非正则模型或推断刊本变化。
原文摘要
It is often stated that the variance of an unbiased estimator of a function of a real parameter can attain the Cramer-Rao lower bound only if the family of distributions is a one-parameter exponential family. A rigorous proof of this statement, subject to certain regularity conditions, has been given by Wijsman. However, in general, the statement is not true. Assuming a revised set of regularity conditions it is shown here that there exists a more general class of distributions for which the Cramer-Rao lower bound for the variance is attained for almost all or even all values of the parameter in an interval. The class reduces to the exponential class only by imposing a restriction requiring the absolute continuity in the parameter of a function involving the logarithm of the probability density.