On extended admissible procedures and their nonstandard Bayes risk
扩展可容许决策程序及其非标准贝叶斯风险AI 解读 ↓
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扩展可容许决策程序及其非标准贝叶斯风险
- 研究问题
- 在一般统计决策问题中，如何突破有限参数空间及既有技术限制，刻画扩展可容许性与贝叶斯风险之间的关系？
- 方法与思路
- 作者运用数学逻辑与非标准分析，以无穷小的超额贝叶斯风险刻画扩展可容许性，并构造非标准的 Blyth 方法。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在风险函数有限的程序中建立一般等价关系，并推出风险连续、参数空间紧 Hausdorff 时与贝叶斯性的等价。
- 阅读关注点
- 应核对扩展可容许性、非标准先验和无穷小超额风险的定义，区分可容许性的充分条件与扩展可容许性的等价定理。
- 阅读边界
- 摘要中的一般性以风险函数有限等表述为边界，未给出完整形式化定义及证明；索引摘要未注明稿件版本。
原文摘要
For finite parameter spaces, among decision procedures with finite risk functions, a decision procedure is extended admissible if and only if it is Bayes. Various relaxations of this classical equivalence have been established for infinite parameter spaces, but these extensions are each subject to technical conditions that limit their applicability, especially to modern (semi and nonparametric) statistical problems. Using results in mathematical logic and nonstandard analysis, we extend this equivalence to arbitrary statistical decision problems: informally, we show that, among decision procedures with finite risk functions, a decision procedure is extended admissible if and only if it has infinitesimal excess Bayes risk. In contrast to existing results, our equivalence holds in complete generality, that is, without regularity conditions or restrictions on the model or loss function. We also derive a nonstandard analogue of Blyth’s method that yields sufficient conditions for admissibility, and apply the nonstandard theory to derive a purely standard theorem: when risk functions are continuous on a compact Hausdorff parameter space, a procedure is extended admissible if and only if it is Bayes.