Multiple Hypergeometric Functions: Probabilistic Interpretations and Statistical Uses
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多重超几何函数的概率解释与统计用途
- 研究问题
- 如何为多重超几何函数建立概率解释，并利用其积分表示处理多项抽样的贝叶斯推断及正态或椭圆分布下二次型的矩？
- 方法与思路
- 作者将相关函数表示为混合多项分布的概率生成函数，构造推广 Dirichlet 分布的嵌套族，并利用积分恒等式计算二次型矩。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，这些解释导出列联表贝叶斯推断的分布族与函数推广，并使多元正态及更一般椭圆分布下的二次型矩可通过求积计算。
- 阅读关注点
- 应核对函数与概率分布对应的参数条件、推广分布族的构造，以及二次型矩积分表示的存在条件和数值求积精度。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；函数定义、积分条件和计算误差未说明，不能判断各种推广的完整适用范围。
原文摘要
This article reviews and interprets recent mathematics of special functions, with emphasis on integral representations of multiple hypergeometric functions. B.C. Carlson's centrally important parameterized functions R and ℛ, initially defined as Dirichlet averages, are expressed as probability-generating functions of mixed multinomial distributions. Various nested families generalizing the Dirichlet distributions are developed for Bayesian inference in multinomial sampling and contingency tables. In the case of many-way tables, this motivates a new generalization of the function ℛ. These distributions are also useful for the modeling of populations of personal probabilities evolving under the process of inference from statistical data. A remarkable new integral identity is adapted from Carlson to represent the moments of quadratic forms under multivariate normal and, more generally, elliptically contoured distributions. This permits the computation of such moments by simple quadrature.