Discrete to continuum limits in Bayesian inverse problems
贝叶斯反问题中的离散到连续极限AI 解读 ↓
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贝叶斯反问题中的离散到连续极限
- 研究问题
- 研究问题：当有限维先验来自局部有限差分正则化、似然为一般凸GLM型时，离散贝叶斯后验测度在网格加密与噪声趋小下是否收敛到定义良好的连续极限，以及该极限的性质。
- 方法与思路
- 方法思路：作者不预设连续先验与后验，而是把连续律构造为数值计算所用有限维概率测度的极限；先固定总信息参数τ与正则强度κ证明L2上的弱收敛，再考虑N→∞且τ_N、κ_N→∞而κ_N/τ_N固定的耦合极限。
- 材料陈述的贡献
- 摘要所述贡献：在显式增长条件下证明重构的离散MAP估计收敛到极限连续代价泛函的唯一极小点u_*，重构后验测度集中于u_*，其中心化重标度涨落收敛到以连续代价泛函在u_*处Hessian的逆为协方差的高斯律；并说明先构造连续后验再取小噪声高正则极限得到相同结果。
- 阅读关注点
- 阅读时应核对：弱收敛与MAP收敛所依赖的具体增长条件、τ与κ的角色及κ_N/τ_N固定假设的必要性、Q可逆性与唯一极小点u_*的条件，以及两条极限路径等价结论的证明范围与正则性要求。
- 阅读边界
- 摘要信息的边界：仅凭摘要无法判断证明细节、假设是否可放宽、数值验证情况与结果的一般性；该文为arXiv预印本，未经同行评审验证，不能据此声称已被期刊接收。
原文摘要
We develop a posterior-level discrete-to-continuum theory for Bayesian inverse problems whose finite-dimensional priors arise from local finite-difference regularization and whose likelihoods are of a general convex GLM-type form. In contrast to continuum-first approaches, the continuum prior and posterior are not assumed at the outset but are constructed as limits of the finite-dimensional probability measures used in numerical computation. First, with the total information parameter $τ$ and the regularization strength $κ$ fixed, we prove weak convergence on $L^2$ of the reconstructed discrete Gaussian priors and posterior measures to well-defined continuum laws. We then consider a coupled grid-refinement and small-noise limit in which $N\to\infty$ and $τ_N,κ_N\to\infty$, while $κ_N/τ_N$ remains fixed. Under explicit growth conditions relating $N$ and $τ_N$, we prove that the reconstructed discrete MAP estimates converge to the unique minimizer $u_*$ of the limiting continuum cost functional, that the reconstructed posterior measures concentrate at $u_*$, and that their centered and rescaled fluctuations converge to $\mathcal N(\vec 0,Q^{-1})$, where $Q$ is the Hessian of the continuum cost functional at $u_*$. Finally, we show that the same deterministic limit and Gaussian fluctuation law are obtained by first constructing the continuum posterior and then taking its small-noise, high-regularization limit.