Convex regression in multidimensions: Suboptimality of least squares estimators
多维凸回归：最小二乘估计量的次优性AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
AI 根据所提供的论文材料归类：摘要研究通用形状约束回归的风险理论，未明确涉及所列计量细分方向。
反馈分类问题
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代码、数据与补充材料
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多维凸回归：最小二乘估计量的次优性
- 研究问题
- 研究高斯误差的非参数回归中，凸函数最小二乘估计在不同设计和函数类下是否达到最小最大风险，尤其关注高维情形。
- 方法与思路
- 作者分别分析有界、Lipschitz 及多面体支撑上的凸函数类，比较最小二乘风险与最小最大风险，并研究度量熵。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在维度至少为五时，所列函数类的最小二乘估计未达最小最大速率，并给出固定设计下新的收敛与自适应结果。
- 阅读关注点
- 应核对各函数类与设计条件、风险上下界的含义、对数因子的处理，以及固定设计下自适应结果所依赖的结构。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要，不能把次优性推广到所有凸回归情形；摘要未说明可达最小最大风险的替代估计方法。
原文摘要
Under the usual nonparametric regression model with Gaussian errors, Least Squares Estimators (LSEs) over natural subclasses of convex functions are shown to be suboptimal for estimating a d-dimensional convex function in squared error loss when the dimension d is 5 or larger. The specific function classes considered include: (i) bounded convex functions supported on a polytope (in random design), (ii) Lipschitz convex functions supported on any convex domain (in random design) and (iii) convex functions supported on a polytope (in fixed design). For each of these classes, the risk of the LSE is proved to be of the order n−2/d (up to logarithmic factors) while the minimax risk is n−4/(d+4), when d≥5. In addition, the first rate of convergence results (worst case and adaptive) for the unrestricted convex LSE are established in fixed design for polytopal domains for all d≥1. Some new metric entropy results for convex functions are also proved, which are of independent interest.