Asymptotic Behavior of $M$ Estimators of $p$ Regression Parameters when $p^2 / n$ is Large; II. Normal Approximation
参数维数增长时回归 M 估计量的渐近行为：第二部分，正态近似AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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代码、数据与补充材料
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参数维数增长时回归 M 估计量的渐近行为：第二部分，正态近似
- 研究问题
- 在线性回归参数维数随样本量增加时，M 估计量能否仍获得一致的正态近似，并用于线性组合及整体误差的分布近似？
- 方法与思路
- 作者在一般线性模型中研究 M 估计方程，在所述维数增长限制下分析最大拟合误差，并建立估计量分布的一致正态近似。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称最大拟合误差依概率趋零，适当标准化的任意线性组合渐近正态，设计矩阵加权的估计误差二次型近似卡方分布。
- 阅读关注点
- 应核对维数增长限制之外的设计矩阵、误差和得分函数条件，以及一致近似的具体含义、标准化方式和二次型近似精度。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；不能把所列维数限制视为全部条件，摘要未说明正则条件、证明和有限样本近似误差。
原文摘要
In a general linear model, $Y = X\beta + R$ with $Y$ and $R n$-dimensional, $X$ a $n \times p$ matrix, and $\beta p$-dimensional, let $\hat\beta$ be an $M$ estimator of $\beta$ satisfying $0 = \sum x_i\psi(y_i - x'_i\beta)$. Let $p \rightarrow \infty$ such that $(p \log n)^{3/2} /n \rightarrow 0$. Then $\max_i|x'_i(\hat{\beta} - \beta)| \rightarrow _P 0$, and it is possible to find a uniform normal approximation for the distribution of $\hat{\beta}$ under which arbitrary linear combinations $a'_n (\hat{\beta} - \beta)$ are asymptotically normal (when appropriately normalized) and $(\hat{\beta} - \beta)'(X'X)(\hat{\beta} - \beta)$ is approximately $\chi^2_p$.