Optimal Uniform Convergence Rates for Sieve Nonparametric Instrumental Variables Regression
筛法非参数工具变量回归的最优一致收敛速度AI 解读 ↓
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筛法非参数工具变量回归的最优一致收敛速度
- 研究问题
- 在解释变量内生、算子未知的非参数工具变量逆问题中，筛估计量能达到怎样的上确界范数收敛速度，是否具有极小极大最优性？
- 方法与思路
- 作者先建立允许内生性和弱依赖的一般统一误差上界，再分析独立同分布数据下的筛法 NPIV，并推导相应极小极大下界。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称样条和小波筛法 NPIV 的上确界范数上下界匹配；严重病态时与最优 L2 速度一致，轻度病态时慢一个对数幂因子。
- 阅读关注点
- 应核对病态程度、函数平滑性、筛维数和工具变量空间条件，特别区分弱依赖最小二乘结果与独立同分布 NPIV 结果。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此认定已同行评审或接收；摘要未给出具体速度公式和正则条件，也不能直接推出置信带有效性。
原文摘要
We study the problem of nonparametric regression when the regressor is endogenous, which is an important nonparametric instrumental variables (NPIV) regression in econometrics and a difficult ill-posed inverse problem with unknown operator in statistics. We first establish a general upper bound on the sup-norm (uniform) convergence rate of a sieve estimator, allowing for endogenous regressors and weakly dependent data. This result leads to the optimal sup-norm convergence rates for spline and wavelet least squares regression estimators under weakly dependent data and heavy-tailed error terms. This upper bound also yields the sup-norm convergence rates for sieve NPIV estimators under i.i.d. data: the rates coincide with the known optimal $L^2$-norm rates for severely ill-posed problems, and are power of $\log(n)$ slower than the optimal $L^2$-norm rates for mildly ill-posed problems. We then establish the minimax risk lower bound in sup-norm loss, which coincides with our upper bounds on sup-norm rates for the spline and wavelet sieve NPIV estimators. This sup-norm rate optimality provides another justification for the wide application of sieve NPIV estimators. Useful results on weakly-dependent random matrices are also provided.