Optimal rates of convergence for noisy sparse phase retrieval via thresholded Wirtinger flow
阈值化 Wirtinger 流实现含噪稀疏相位恢复的最优收敛速率AI 解读 ↓
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阈值化 Wirtinger 流实现含噪稀疏相位恢复的最优收敛速率
- 研究问题
- 如何从含噪二次测量中恢复稀疏信号，刻画稀疏度对估计精度的影响，并设计计算可行的自适应方法。
- 方法与思路
- 作者提出阈值化梯度下降算法，在独立标准高斯测量向量与独立次指数噪声的设定中分析估计误差。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称当样本量相对稀疏度足够大时，算法可在较广稀疏度范围内自适应达到极小极大最优收敛速率。
- 阅读关注点
- 核对初始化、阈值和步长的选择、样本量要求，以及相位恢复的符号不识别如何进入误差度量。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明；具体速率和样本门槛未说明，最优性结论限于所述测量与噪声设定。
原文摘要
This paper considers the noisy sparse phase retrieval problem: recovering a sparse signal $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{p}$ from noisy quadratic measurements $y_{j}=(\mathbf{a}_{j}'\mathbf{x})^{2}+\varepsilon_{j}$, $j=1,\ldots,m$, with independent sub-exponential noise $\varepsilon_{j}$. The goals are to understand the effect of the sparsity of $\mathbf{x}$ on the estimation precision and to construct a computationally feasible estimator to achieve the optimal rates adaptively. Inspired by the Wirtinger Flow [IEEE Trans. Inform. Theory 61 (2015) 1985–2007] proposed for non-sparse and noiseless phase retrieval, a novel thresholded gradient descent algorithm is proposed and it is shown to adaptively achieve the minimax optimal rates of convergence over a wide range of sparsity levels when the $\mathbf{a}_{j}$’s are independent standard Gaussian random vectors, provided that the sample size is sufficiently large compared to the sparsity of $\mathbf{x}$.