Bounds on the Distribution of a Sum of Two Random Variables: Revisiting a problem of Kolmogorov with application to Individual Treatment Effects
两个随机变量之和的分布界：重访Kolmogorov问题及个体处理效应应用AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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两个随机变量之和的分布界：重访Kolmogorov问题及个体处理效应应用
- 研究问题
- 仅给定两个随机变量的边际分布时，研究其和的兼容分布范围与界的锐性，并分析这些问题对个体处理效应分布识别的影响。
- 方法与思路
- 作者重新分析既有分布界及copula解法，处理锐性表述的分歧和不连续边际分布问题，再将所得认识用于潜在结果之差的分布。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称纠正了既有文献中关于锐性的错误表述，补充不连续情形的逻辑缺口，并修正和收紧已有个体处理效应分布结果。
- 阅读关注点
- 应核对界的可达到性与锐性如何区分、不连续边际下端点如何处理，以及随机试验识别边际分布后仍留下哪些联合分布不确定性。
- 阅读边界
- 这是arXiv预印本，同行评审、期刊接收及刊本变化未核验；摘要未展示修正后的界或具体条件，也未声称点识别个体效应。
原文摘要
We revisit the following problem, proposed by Kolmogorov: given prescribed marginal distributions $F$ and $G$ for random variables $X,Y$ respectively, characterize the set of compatible distribution functions for the sum $Z=X+Y$. Bounds on the distribution function for $Z$ were first given by Markarov (1982) and Rüschendorf (1982) independently. Frank et al. (1987) provided a solution to the same problem using copula theory. However, though these authors obtain the same bounds, they make different assertions concerning their sharpness. In addition, their solutions leave some open problems in the case when the given marginal distribution functions are discontinuous. These issues have led to some confusion and erroneous statements in subsequent literature, which we correct. Kolmogorov's problem is closely related to inferring possible distributions for individual treatment effects $Y_1 - Y_0$ given the marginal distributions of $Y_1$ and $Y_0$; the latter being identified from a randomized experiment. We use our new insights to sharpen and correct the results due to Fan and Park (2010) concerning individual treatment effects, and to fill some other logical gaps.