Asymptotic Behavior of the Empiric Distribution of M-Estimated Residuals from a Regression Model with Many Parameters
多参数回归模型中 M 估计残差经验分布的渐近行为AI 解读 ↓
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多参数回归模型中 M 估计残差经验分布的渐近行为
- 研究问题
- 当回归参数维度随样本规模变化时，M 估计所得残差的经验分布如何偏离真实误差分布，参数估计又会怎样改变其极限过程？
- 方法与思路
- 作者在误差独立同分布、估计函数及分布满足平滑条件、设计满足特定要求的回归模型中，研究残差经验分布展开与弱收敛。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，参数维度可在极限过程中引入偏差漂移，截距项相关修正影响协方差，使其区别于通常的布朗桥，并提供拟合值展开。
- 阅读关注点
- 应核对参数维度与样本规模的关系、设计和平滑性条件，以及截距项如何改变残差过程；偏差、协方差和余项表达须对照原 PDF。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要，数学记号存在大小写混用和排版错误；具体增长率、公式与余项条件需查原 PDF，不能据此重构。
原文摘要
Consider a regression model $Y_i=x'_i\beta+R_i$, i=1,\cdots,n, where ${R_i}$ are i.i.d. with c.d.f., F; $x_i\inR^p$ and $\beta\inR^p$. Let $\hat{\beta}$ be a M-estimator defined using kernel, $\psi$; let $\hat{F}_n(x)$ denote the empiric distribution of the residuals, $Y_i-x'_i\hat{\beta}$ and let $\hat{F}^\ast_n$ be the empiric c.d.f. of the errors, ${R_i}$. Under suitable smoothness conditions on $\psi$, F, and the density F' = f and conditions requiring essentially that ${x_i}$ behave like a random sample from some distribution in $R_p$, it is show that, for fixed x, $\sqrt n (\hat{F}_n(x) - \hat{F}^\ast_n(x)-H_n(x))-\frac{P}{\sqrt{n}} g(x) \rightarrow_p 0$, where $g(x) = af(x)\psi(x) + bf'(x)$ and $H_n(x) = (1/nd)f(x)\sum^n_{i=1}\psi(R_i)$ if the design has a constant term [and $H_n(x)$ vanishes otherwise]. A tightness result shows that if $p/\sqrt n\rigtharrow c$ $\sqrt n(\hat{F}_n(x)-F(x))$ converges weakly to a Gaussian process with drift given by the bias term cg(x), and covariance function strongly affected by $H_n(x)$ and different from that for the usual Brownian bridge. In the course of the proof, an expansion for the fitted values, $x'_i\hat{\beta}$, is obtained, with error $O_p(p^{11/4}ln^2n/n^2)=o_p (1/\sqrt{n}) if p^2/n$ is bounded.