On the properties of the coefficient of determination in regression models with infinite variance variables
无限方差变量回归模型中决定系数的性质AI 解读 ↓
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无限方差变量回归模型中决定系数的性质
- 研究问题
- 当解释变量与误差具有无限方差时，决定系数R²如何随样本增大而变化，其大小还能否反映回归关系的有效性？
- 方法与思路
- 作者在α稳定随机变量的回归框架下，分别研究解释变量与误差稳定指数相同或不同的情形，并分析R²的极限行为。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，同指数时R²具有覆盖整个单位区间的非退化极限分布；异指数时趋于零或一，小R²本身不足以否定模型用途。
- 阅读关注点
- 应核对回归设定、稳定变量的依赖条件及斜率限制，并查看极限分布推导如何衔接Fama–MacBeth第二阶段回归。
- 阅读边界
- 仅据所给出版社摘要，无法判断结论所需的完整条件、有限样本表现及实证诊断，也不能推断其他版本的变化。
原文摘要
We examine the asymptotic properties of the coefficient of determination, R2, in models with α-stable random variables. If the regressor and error term share the same index of stability α<2, we show that the R2 statistic does not converge to a constant but has a nondegenerate distribution on the entire [0,1] interval. We provide closed-form expressions for the cumulative distribution function and probability density function of this limit random variable, and we show that the density function is unbounded at 0 and 1. If the indices of stability of the regressor and error term are unequal, we show that the coefficient of determination converges in probability to either 0 or 1, depending on which variable has the smaller index of stability, irrespective of the value of the slope coefficient. In an empirical application, we revisit the Fama and MacBeth (1973) two-stage regression and demonstrate that in the infinite-variance case the R2 statistic of the second-stage regression converges to 0 in probability even if the slope coefficient is nonzero. We deduce that a small value of the R2 statistic should not, in itself, be used to reject the usefulness of a regression model.