High Dimensional Gaussian and Bootstrap Approximations in Generalized Linear Models
广义线性模型中的高维高斯与自助法近似AI 解读 ↓
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AI 根据所提供的论文材料归类：摘要讨论的是高维广义线性模型的高斯与自助法近似理论，属于计量理论与高维统计推断，未涉及所列因果推断、面板、离散选择、时间序列、资产定价等具体领域细分，故不选择。
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广义线性模型中的高维高斯与自助法近似
- 研究问题
- 研究广义线性模型在高维设定下，高斯近似与自助法（Bootstrap）近似在何种维度增长率与集合族（Borel 凸集、欧氏球）下成立，以及稀疏情形下是否仍然有效。
- 方法与思路
- 作者分两种高维机制讨论：机制(I)中维度 d 慢于 n 增长，推导高斯近似与两种高维 Bootstrap 方法在凸集和欧氏球上的有效性；机制(II)中 d 随 n 指数增长，通过 Lasso 引入稀疏性，分析高斯近似的失效与 Bootstrap 近似在估计量相关部分的有效条件。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在机制(I)下高斯近似在 d=o(n^{2/5})（凸集）与 d=o(n^{1/2})（欧氏球）时成立，并给出相应有效的 Bootstrap 方法；机制(II)下证明高斯近似失效，但在给定稀疏度与惩罚参数条件下 Bootstrap 近似对估计量相关部分仍有效，并用模拟与真实数据验证有限样本表现。
- 阅读关注点
- 应核对两种机制下维度增长率条件的推导前提、Bootstrap 方法的具体构造与适用集合族、机制(II)中 τ、λ_n、非零参数个数条件的角色，以及模拟与实证所覆盖的模型与样本规模。
- 阅读边界
- 仅依据摘要，无法判断定理的识别假设、证明细节、模拟设计与实证数据的具体结论；摘要未说明 Bootstrap 方法的实现细节与计算成本，也未说明结果对链接函数与响应分布的适用范围。
原文摘要
Generalized Linear Model (or GLM) extends the ordinary linear regression by linking the mean of the response variable to covariates through appropriate link functions. GLM is widely used in the analysis of datasets arising from diverse fields including medical sciences, clinical trials, population surveys and risk analysis. In this paper, we investigate the Gaussian and Bootstrap approximations of GLM under two separate high dimensional regimes: (I) when the dimension $d$ grows slower than $n$ and (II) when $d$ grows exponentially with $n$. Under regime (I), we essentially show that the Gaussian approximation holds over the collection of Borel convex sets when $d = o\big(n^{2/5}\big)$ and over the collection of Euclidean balls when $d = o\big(n^{1/2}\big)$. We further devise two high dimensional Bootstrap methods which are valid over the collections of Borel convex sets and Euclidean balls under the same dimension growth rates. Then we move to regime (II) where we invoke sparsity to GLM through Lasso. We show that the high dimensional Gaussian approximation fails under regime (II). However, the Bootstrap approximations over convex sets and Euclidean balls are valid for the relevant part of the GLM estimator provided $\log d = o\big(n^{2τ/3}\big)$ and the number of non-zero regression parameters is $o\big(n^{1/3- 4τ/3}\big)$, when the Lasso penalty $λ_n \sim n^{1/2 + τ}$, for some $τ\in (0, 1/4)$. Simulation studies confirm the strong finite-sample performance of our proposed Bootstrap methods under both regime (I) and (II). We also implement our methods on real datasets.