Estimating a Distribution Function with Truncated Data
截断数据下的分布函数估计AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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截断数据下的分布函数估计
- 研究问题
- 当有限总体中仅能观察满足截断规则的独立随机变量对时，如何估计两个未知分布函数及未知总体规模？
- 方法与思路
- 作者描述两个分布的非参数最大似然估计，并在总体规模增长时分析一致性和分布函数估计误差的高斯过程极限。
- 材料陈述的贡献
- 摘要给出连续性与支持端点条件下的一致性结论，并称特定积分有限时存在高斯过程极限、积分无限时可能不收敛。
- 阅读关注点
- 应核对随机截断与删失的区别、变量独立和支持条件、积分条件对尾部的限制，以及未知总体规模如何估计。
- 阅读边界
- 依据版本未注明的索引摘要；渐近结论依赖支持和可积性条件，不能推广至任意截断机制；总体规模估计的性质未说明。
原文摘要
Let $\mathscr{P}$ be a finite population with $N \geq 1$ elements; for each $e \in \mathscr{P}$, let $X_e$ and $Y_e$ be independent, positive random variables with unknown distribution functions $F$ and $G$; and suppose that the pairs $(X_e, Y_e)$ are i.i.d. We consider the problem of estimating $F, G$, and $N$ when the data consist of those pairs $(X_e, Y_e)$ for which $e \in \mathscr{P}$ and $Y_e \leq X_e$. The nonparametric maximum likelihood estimators (MLEs) of $F$ and $G$ are described; and their asymptotic properties as $N \rightarrow \infty$ are derived. It is shown that the MLEs are consistent against pairs $(F, G)$ for which $F$ and $G$ are continuous, $G^{-1}(0) \leq F^{-1}(0)$, and $G^{-1}(1) \leq F^{-1}(1). \sqrt N \times$ estimation error for $F$ converges in distribution to a Gaussian process if $\int^\infty_0 (1/G) dF < \infty$, but may fail to converge if this integral is infinite.