On Singular Wishart and Singular Multivariate Beta Distributions
奇异 Wishart 分布与奇异多元 Beta 分布AI 解读 ↓
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奇异 Wishart 分布与奇异多元 Beta 分布
- 研究问题
- 当矩阵秩低于维数时，如何定义 Wishart 和多元 Beta 分布的密度、变换性质及相应的共轭关系？
- 方法与思路
- 作者在固定秩半正定矩阵空间引入体积元，计算一般矩阵奇异值分解变换的 Jacobian，并建立相关密度。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，论文扩展通常的共轭关系，得到固定秩 Wishart 和秩一多元 Beta 密度，可用于时变协方差的后验更新。
- 阅读关注点
- 应核对密度所依赖的测度、秩与维度限制、变换 Jacobian 的推导，以及时变协方差更新的具体使用方式。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；多元 Beta 结果明确限于秩一，不能据此推广到所有奇异秩或金融应用。
原文摘要
This paper extends the study of Wishart and multivariate beta distributions to the singular case, where the rank is below the dimensionality. The usual conjugacy is extended to this case. A volume element on the space of positive semidefinite $m \times m$ matrices of rank $n < m$ is introduced and some transformation properties established. The density function is found for all rank-$n$ Wishart distributions as well as the rank-1 multivariate beta distribution. To do that, the Jacobian for the transformation to the singular value decomposition of general $m \times n$ matrices is calculated. The results in this paper are useful in particular for updating a Bayesian posterior when tracking a time-varying variance-covariance matrix.