Convergence rates for Bayesian density estimation of infinite-dimensional exponential families
无限维指数族贝叶斯密度估计的收敛速度AI 解读 ↓
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无限维指数族贝叶斯密度估计的收敛速度
- 研究问题
- 研究周期 Sobolev 类中的对数密度，其贝叶斯后验能否达到最优收敛速度，以及平滑程度未知时如何构造速率自适应估计。
- 方法与思路
- 作者在对数密度的三角级数系数上设置高斯或混合先验，分析方差衰减与维度权重，并构造随样本量截断的有限基先验。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称适当先验可使后验及后验期望密度达到 Hellinger 损失下的最优速率，并在平滑度未知时导出速率自适应估计量。
- 阅读关注点
- 应核对密度类的统一性条件、先验方差和混合权重要求、截断点选择，以及未知平滑度下自适应结论覆盖的参数范围。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明；摘要未给出具体速率与全部先验条件，最优性不能外推到任意密度或先验。
原文摘要
We study the rate of convergence of posterior distributions in density estimation problems for log-densities in periodic Sobolev classes characterized by a smoothness parameter p. The posterior expected density provides a nonparametric estimation procedure attaining the optimal minimax rate of convergence under Hellinger loss if the posterior distribution achieves the optimal rate over certain uniformity classes. A prior on the density class of interest is induced by a prior on the coefficients of the trigonometric series expansion of the log-density. We show that when p is known, the posterior distribution of a Gaussian prior achieves the optimal rate provided the prior variances die off sufficiently rapidly. For a mixture of normal distributions, the mixing weights on the dimension of the exponential family are assumed to be bounded below by an exponentially decreasing sequence. To avoid the use of infinite bases, we develop priors that cut off the series at a sample-size-dependent truncation point. When the degree of smoothness is unknown, a finite mixture of normal priors indexed by the smoothness parameter, which is also assigned a prior, produces the best rate. A rate-adaptive estimator is derived.