Invalidity of Bootstrap for Critical Branching Processes with Immigration
带移入的临界分枝过程中 Bootstrap 的无效性AI 解读 ↓
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带移入的临界分枝过程中 Bootstrap 的无效性
- 研究问题
- 当带移入分枝过程的子代均值处于临界值时，参数 Bootstrap 能否正确逼近标准化最大似然估计量的极限分布？
- 方法与思路
- 作者以各代规模及移入量为观测，比较标准化最大似然估计与其 Bootstrap 版本，借助算子半群收敛建立分枝过程序列的弱收敛。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，子代均值 m=1 时，两者极限分布不同，参数 Bootstrap 渐近无效；其条件分布函数值的分布极限仍是随机变量。
- 阅读关注点
- 应核对参数 Bootstrap 的生成方式、标准化及移入条件，明确条件分布不稳定的机制，并查看弱收敛如何支持无效性结论。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；具体分枝与移入假设、标准化和极限分布未说明，不能推广为所有 Bootstrap 方法无效。
原文摘要
This article considers a case of parametric bootstrap when the observations consist of generation sizes of the branching process with immigration together with the immigration component of each generation. Suppose we estimate the offspring mean $m$ by the maximum likelihood estimator (m.l.e.). It is then shown that the bootstrap version of the standardized m.l.e. does not have the same limiting distribution as the standardized m.l.e., under the assumption that $m = 1$ (critical case). In other words, the asymptotic validity does not hold for the parametric bootstrap in the critical case. In fact, given the sample, the value of the conditional distribution function of the bootstrap version of standardized m.l.e. defines a sequence of random variables whose limit (in distribution) is also shown to be a random variable, when $m = 1$. The approach used here is via a sequence of branching processes for which a general weak convergence [in $D^+\lbrack 0, \infty)$] result is established using operator semigroup convergence theorems.