On the minimisation of $L\sp p$ error in mode estimation
众数估计中 L^p 误差的最小化AI 解读 ↓
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众数估计中 L^p 误差的最小化
- 研究问题
- 非参数密度估计的众数何时能在 L^p 意义下收敛？如何根据这一误差准则选择带宽，并恰当设置自助法的平滑程度？
- 方法与思路
- 作者研究矩条件与众数估计的 L^p 收敛，分析带宽对收敛速率的影响，并以平滑自助法近似误差、构造带宽规则。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，底层分布的 p 阶矩有限对所研究的 L^p 收敛既必要又充分，并指出渐近分布的均方误差与渐近均方误差有别。
- 阅读关注点
- 应核对矩条件结论所依赖的其他假设、两类均方误差的区别，以及自助法平滑量如何影响误差估计与带宽选择。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；众数、密度及估计量的具体条件未提供，不能把矩条件视为脱离模型的普遍判据。
原文摘要
We show that, for $L^p$ convergence of the mode of a nonparametric density estimator to the mode of an unknown probability density, finiteness of the pth moment of the underlying distribution is both necessary and sufficient. The basic requirement of existence of finite variance has been overlooked by statisticians, who have earlier considered mean square convergence of nonparametric mode estimators; they have focussed on mean squared error of the asymptotic distribution, rather than on asymptotic mean squared error. The effect of bandwidth choice on the rate of $L^p$ convergence is analysed, and smoothed bootstrap methods are used to develop an empirical approximation to the $L^p$ measure of error. The resulting bootstrap estimator of $L^p$ error may be minimised with respect to the bandwidth of the nonparametric density estimator, and in this way an empirical rule may be developed for selecting the bandwidth for mode estimation. Particular attention is devoted to the problem of selecting the appropriate amount of smoothing in the bootstrap algorithm.