A Note on Paired Comparison Rankings
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关于成对比较排序的一则札记
- 研究问题
- 在对象之间进行独立成对比较后，如何估计符合弱随机排序要求的次序，并处理排序与观测胜负之间的冲突？
- 方法与思路
- 作者以违背观测胜负的比较对构造统计量，提出最小卡方弱随机排序，并指出可使用分支定界算法求解。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称最小卡方排序具有 Hamiltonian 排序性质；每对仅比较一次时，它还最小化对观测结果的违背次数。
- 阅读关注点
- 应核对弱随机排序与 Hamiltonian 排序的定义、统计量的渐近解释，以及分支定界算法的计算要求。
- 阅读边界
- 摘要中的随机项求和不能据此视为普通固定自由度卡方分布；其渐近条件和算法性能未说明，索引版本亦未注明。
原文摘要
If $m$ objects $x_1, x_2, \cdots, x_m$ are compared pairwise, then let $s_{ij}$ denote the number of times $x_i$ beats $x_j$ in $n_{ij}$ independent comparisons. In a ranking, if $x_i$ precedes $x_j$ then one may require that the probability of $x_i$ beating $x_j$ be at least $\frac{1}{2}$. Such a ranking is called weak stochastic ranking. Let $I(R)$ be the set of all pairs $(i, j)$ such that $x_i$ precedes $x_j$ in the ranking $R$ in spite of the paired comparison outcomes resulting in $s_{ij} < s_{ji}$. A statistic $D(R) = \sum_{I(R)} (S_{ij} - S_{ji})^2/n_{ij}$ is derived and proposed for estimating a weak stochastic ranking. Since $D(R)$ is seen to be the sum of a random number of asymptotically distributed chi-square variates, a ranking is called minimum chi-square weak stochastic if $D(R) \leqq D(R_t)$, for $t = 1,2, \cdots, m$! It is proved that minimum chi-square rankings share at least two properties with the maximum likelihood rankings. That is, every minimum chi-square ranking is Hamiltonian ranking and when in particular $n_{ij} = 1$, every minimum chi-square ranking minimizes the violations of observed outcomes. Moreover, the branch and bound algorithm can be used for estimating the minimum chi-square rankings.