Properties of linear spectral statistics of frequency-smoothed estimated spectral coherence matrix of high-dimensional Gaussian time series
高维高斯时间序列频率平滑谱相干矩阵的线性谱统计性质AI 解读 ↓
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高维高斯时间序列频率平滑谱相干矩阵的线性谱统计性质
- 研究问题
- 研究高维高斯时间序列的平滑谱相干矩阵有哪些特征值极限性质，以及线性谱统计量在不同频率上偏离确定性近似的程度。
- 方法与思路
- 作者在分量独立、维度和平滑跨度同阶增长且维度相对样本量趋零的框架下，联系样本协方差矩阵并使用集中不等式。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，经验特征值分布趋于 Marcenko–Pastur 分布，线性谱统计量有显式确定性近似，并给出跨频率偏离的量级。
- 阅读关注点
- 应核对高斯性和分量独立性如何用于证明、维度与平滑跨度的增长限制，以及逐频率近似如何扩展为频率上的一致控制。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审或期刊接收未经核实；结果针对摘要限定的独立高斯分量，不能直接推广到一般相关或非高斯序列。
原文摘要
The asymptotic behaviour of Linear Spectral Statistics (LSS) of the smoothed periodogram estimator of the spectral coherency matrix of a complex Gaussian high-dimensional time series $(\y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ with independent components is studied under the asymptotic regime where the sample size $N$ converges towards $+\infty$ while the dimension $M$ of $\y$ and the smoothing span of the estimator grow to infinity at the same rate in such a way that $\frac{M}{N} \rightarrow 0$. It is established that, at each frequency, the estimated spectral coherency matrix is close from the sample covariance matrix of an independent identically $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,\I_M)$ distributed sequence, and that its empirical eigenvalue distribution converges towards the Marcenko-Pastur distribution. This allows to conclude that each LSS has a deterministic behaviour that can be evaluated explicitly. Using concentration inequalities, it is shown that the order of magnitude of the supremum over the frequencies of the deviation of each LSS from its deterministic approximation is of the order of $\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N}+ (\frac{M}{N})^{3}$ where $N$ is the sample size. Numerical simulations supports our results.