Total variation regularized Fréchet regression for metric-space valued data
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度量空间值数据的总变差正则化 Fréchet 回归
- 研究问题
- 当响应是矩阵、概率分布或树等度量空间对象，且由标量预测变量索引时，如何估计其条件 Fréchet 均值函数？
- 方法与思路
- 作者最小化 Fréchet 形式的最小二乘目标，同时约束度量空间值函数的总变差，并在 Hadamard 空间中研究收敛性质。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称估计量可表示为分段常数函数，并建立 Hadamard 空间对象的极小极大收敛速率，另以模拟和多类真实数据展示。
- 阅读关注点
- 核对度量空间总变差与条件均值的定义、函数类限制、速率对应的损失，以及所列各类空间是否满足理论条件。
- 阅读边界
- 仅据稿件版本未注明的 OpenAlex 摘要；具体速率、正则化选择与数值表现未给出，不能推广到任意度量空间。
原文摘要
Non-Euclidean data that are indexed with a scalar predictor such as time are increasingly encountered in data applications, while statistical methodology and theory for such random objects are not well developed yet. To address the need for new methodology in this area, we develop a total variation regularization technique for nonparametric Fréchet regression, which refers to a regression setting where a response residing in a metric space is paired with a scalar predictor and the target is a conditional Fréchet mean. Specifically, we seek to approximate an unknown metric-space valued function by an estimator that minimizes the Fréchet version of least squares and at the same time has small total variation, appropriately defined for metric-space valued objects. We show that the resulting estimator is representable by a piece-wise constant function and establish the minimax convergence rate of the proposed estimator for metric data objects that reside in Hadamard spaces. We illustrate the numerical performance of the proposed method for both simulated and real data, including metric spaces of symmetric positive-definite matrices with the affine-invariant distance, of probability distributions on the real line with the Wasserstein distance, and of phylogenetic trees with the Billera–Holmes–Vogtmann metric.