The Bayes Factor Against Equiprobability of a Multinomial Population Assuming a Symmetric Dirichlet Prior
对称狄利克雷先验下反对多项总体等概率的贝叶斯因子AI 解读 ↓
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对称狄利克雷先验下反对多项总体等概率的贝叶斯因子
- 研究问题
- 对多项总体的等概率原假设，贝叶斯因子如何随对称狄利克雷先验参数变化，其最大值能否提供显著性判据？
- 方法与思路
- 作者分析贝叶斯因子关于先验参数的局部极大值，将其位置与 Pearson 卡方统计量联系，并讨论最大化后的显著性判据。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，几乎证明了极大值唯一性及有限极大值位置的猜想，并指出最大贝叶斯因子的渐近分布可用于显著性判断。
- 阅读关注点
- 应核对几乎证明仍留下哪些情形、极大值存在与唯一性的精确条件，以及极端尾部和小样本近似的论证依据。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要，不能将几乎证明改写为完整定理；未解决情形、近似误差和刊本变化未说明。
原文摘要
A sample $(n_1, n_2,\cdots, n_t)$ is taken from a $t$-category multinomial population. The hypothesis of equiprobability, that the $t$ physical probabilities associated with the cells are all equal to $1/t$, is called the null hypothesis. Conditional on the non-null hypothesis, a symmetric Dirichlet prior of parameter $k$ is assumed $(k \geqq 0)$ and the Bayes factor against the null hypothesis, with this assumption, is denoted by $F(k)$. A conjecture made in 1965 is almost proved, namely that $F(k)$ has a unique local maximum and that this occurs for a finite value of $k$ if and only if Pearson's $X^2$ exceeds its number of degrees of freedom. The result is required for the calculation of $\max F(k)$, which provides a non-Bayesian significance criterion whose simple asymptotic distribution is good even in the extreme tail, and even for sample sizes less than $t$. This criterion arose from an attitude involving a Bayes/non-Bayes compromise.