Asymptotic Distribution-Free Tests for Ultra-high Dimensional Parametric Regressions via Projected Empirical Processes and $p$-value Combination
超高维参数回归的渐近无分布检验：投影经验过程与 p 值组合AI 解读 ↓
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超高维参数回归的渐近无分布检验：投影经验过程与 p 值组合
- 研究问题
- 摘要称，本文研究协变量维数可能远大于样本量的超高维稀疏参数回归模型的拟合优度检验问题，即如何在此类设定下检验参数回归模型是否设定正确。
- 方法与思路
- 作者提出基于投影经验过程与 p 值组合的方法：先将经典鞅变换推广到超高维情形，对单位球面上任意投影构造基于鞅变换投影残差标记经验过程的 Cramér–von Mises 型检验，再用 Cauchy 组合等 p 值组合程序汇总多个投影的 p 值，并进一步把经验过程类检验与局部平滑类检验组合成混合检验。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，鞅变换使投影检验渐近无分布，且仅用参数估计量的标准收敛速率即可导出极限分布；投影检验在 mild 条件下对几乎所有投影相合，p 值组合可缓解特定投影的功效损失；混合检验对低频与高频备择均具功效。
- 阅读关注点
- 应核对鞅变换推广所需的具体正则条件、参数估计量收敛速率的假设、投影检验极限分布的推导、p 值组合的有效性与相关性处理，以及混合检验的检验水平与功效理论是否完整给出。
- 阅读边界
- 仅凭摘要无法判断定理条件是否可验证、有限样本表现、组合程序的 size 控制、与既有检验的实际比较，以及摘要省略部分的内容；该文为 arXiv 预印本，未经同行评审验证。
原文摘要
This paper develops a novel methodology for testing the goodness-of-fit of sparse parametric regression models based on projected empirical processes and p-value combination, where the covariate dimension may substantially exceed the sample size. In such ultra-high dimensional settings, traditional empirical process-based tests often fail due to the curse of dimensionality or their reliance on the asymptotic linearity and normality of parameter estimators--properties that may not hold under ultra-high dimensional scenarios. To overcome these challenges, we first extend the classic martingale transformation to ultra-high dimensional settings under mild conditions and construct a Cramer-von Mises type test based on a martingale-transformed, projected residual-marked empirical process for any projection on the unit sphere. The martingale transformation renders this projected test asymptotically distribution-free and enables us to derive its limiting distribution using only standard convergence rates of parameter estimators. While the projected test is consistent for almost all projections on the unit sphere under mild conditions, it may still suffer from power loss for specific projections. Therefore, we further employ powerful p-value combination procedures, such as the Cauchy combination, to aggregate p-values across multiple projections, thereby enhancing overall robustness. Furthermore, recognizing that empirical process-based tests excel at detecting low-frequency signals while local smoothing tests are generally superior for high-frequency alternatives, we propose a novel hybrid test that aggregates both approaches using Cauchy combination. The resulting hybrid test is powerful against both low-frequency and high-frequency alternatives. $\cdots$