Minimax Analysis for Inverse Risk in Nonparametric Planer Invertible Regression
非参数平面可逆回归中逆函数风险的极小极大分析AI 解读 ↓
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非参数平面可逆回归中逆函数风险的极小极大分析
- 研究问题
- 在二维正方形上估计双 Lipschitz 可逆函数时，若要求估计结果保持可逆，逆函数风险的最优速率及其统计复杂性如何？
- 方法与思路
- 作者引入两种 L² 风险，以水平集表示可逆函数，推导逆函数风险的极小极大上下界，并构造渐近几乎处处可逆的估计量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称估计量风险在对数因子范围内达到下界，所得速率与不要求可逆的双 Lipschitz 函数相对应，可逆性未降低速率复杂度。
- 阅读关注点
- 应核对两种风险的定义、双 Lipschitz 常数与边界条件、上下界中的对数差距，以及渐近几乎处处可逆与有限样本可逆的区别。
- 阅读边界
- 所给版本为 arXiv 预印本，同行评审及接收状态未核验；摘要未列具体速率和构造细节，不能推断有限样本估计处处可逆。
原文摘要
We study a minimax risk of estimating inverse functions on a plane, while keeping an estimator is also invertible. Learning invertibility from data and exploiting an invertible estimator are used in many domains, such as statistics, econometrics, and machine learning. Although the consistency and universality of invertible estimators have been well investigated, analysis of the efficiency of these methods is still under development. In this study, we study a minimax risk for estimating invertible bi-Lipschitz functions on a square in a $2$-dimensional plane. We first introduce two types of $L^2$-risks to evaluate an estimator which preserves invertibility. Then, we derive lower and upper rates for minimax values for the risks associated with inverse functions. For the derivation, we exploit a representation of invertible functions using level-sets. Specifically, to obtain the upper rate, we develop an estimator asymptotically almost everywhere invertible, whose risk attains the derived minimax lower rate up to logarithmic factors. The derived minimax rate corresponds to that of the non-invertible bi-Lipschitz function, which shows that the invertibility does not reduce the complexity of the estimation problem in terms of the rate. % the minimax rate, similar to other shape constraints.