Nearly optimal central limit theorem and bootstrap approximations in high dimensions
高维中心极限定理与自助法近似的近最优界AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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反馈分类问题
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代码、数据与补充材料
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高维中心极限定理与自助法近似的近最优界
- 研究问题
- 独立高维随机向量的标准化均值在矩形集合上，能够获得多精确的高斯与自助法近似，误差如何随维数增长？
- 方法与思路
- 作者在均值协方差非退化的情形推导高斯近似界，并扩展至乘子和经验自助法，以及仅用矩条件描述的无界变量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称有界情形的误差界对维数和包络常数达到尖锐阶，对样本量接近尖锐阶，并在特殊平滑或零偏度情形改进。
- 阅读关注点
- 应核对协方差非退化的定量要求、矩形距离与矩条件，以及近最优性的下界依据和特殊情形改进所需条件。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审或接收未核实；摘要以独立向量为对象，未说明依赖数据或退化协方差下的结论。
原文摘要
In this paper, we derive new, nearly optimal bounds for the Gaussian approximation to scaled averages of $n$ independent high-dimensional centered random vectors $X_1,\dots,X_n$ over the class of rectangles in the case when the covariance matrix of the scaled average is non-degenerate. In the case of bounded $X_i$'s, the implied bound for the Kolmogorov distance between the distribution of the scaled average and the Gaussian vector takes the form $$C (B^2_n \log^3 d/n)^{1/2} \log n,$$ where $d$ is the dimension of the vectors and $B_n$ is a uniform envelope constant on components of $X_i$'s. This bound is sharp in terms of $d$ and $B_n$, and is nearly (up to $\log n$) sharp in terms of the sample size $n$. In addition, we show that similar bounds hold for the multiplier and empirical bootstrap approximations. Moreover, we establish bounds that allow for unbounded $X_i$'s, formulated solely in terms of moments of $X_i$'s. Finally, we demonstrate that the bounds can be further improved in some special smooth and zero-skewness cases.