Functional Forms of Characteristic Functions and Characterizations of Multivariate Distributions
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特征函数的函数形式与多元分布刻画
- 研究问题
- 能否利用随机向量线性组合之间的多元线性回归性质，刻画不必独立同分布的组成随机向量及其多元分布形式？
- 方法与思路
- 作者将矩阵系数线性组合之间的回归性质转化为特征函数满足的偏微分方程组，求其一般解，并分析稳定类分布的特例。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，文章给出相关方程组的一般函数形式，刻画多元广义稳定律与半稳定律，并提出刻画多元稳定律的方法。
- 阅读关注点
- 应核对组成随机向量和系数矩阵的假设、回归性质与方程组之间的推导，以及一般解成为有效特征函数所需的条件。
- 阅读边界
- 仅据所给 Crossref 摘要，无法核验所谓温和假设、解的范围及各类稳定分布的定义；不能据此推断具体计量模型应用。
原文摘要
During the Oxford Conference of the Econometric Society in 1936, Ragnar Frisch proposed a problem of characterization of distributions based on the property of linear regression of one linear function of random variables on the other. This problem has been solved, partially by Allen [1], and then completely by Rao [24,25], Fix [7], and Laha [13] relaxing the conditions imposed on the component random variables. The purpose of this paper is to solve the above mentioned problem for the multivariate case, characterizing multivariate distributions based on the multivariate linear regression of one linear function of not necessarily i.i.d. random vectors with matrix coefficients on the other. We make some mild assumptions concerning the component random vectors and the related constant matrices. It is shown that the property of multivariate linear regression yields a system of partial differential equations (p.d.e.'s) satisfied by the characteristic functions of the component random vectors. A general solution of this system of p.d.e.'s is given by certain functional forms. Special cases of the general solution give characterizations of the “multivariate generalized stable laws” and the multivariate semistable laws, and a method is presented to characterize the multivariate stable laws.