Asymptotic Behavior of Likelihood Methods for Exponential Families when the Number of Parameters Tends to Infinity
参数维数趋于无穷时指数族似然方法的渐近行为AI 解读 ↓
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参数维数趋于无穷时指数族似然方法的渐近行为
- 研究问题
- 当指数族模型的参数维数随样本量增长时，最大似然估计的误差、正态近似与似然比检验分别需要怎样的增长限制？
- 方法与思路
- 作者在矩条件下给出估计误差和线性近似余项的概率阶，并分别研究估计量的正态近似与似然比统计量的极限。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，正态近似可要求 p_n²/n 趋零，而简单假设的似然比标准化正态极限可在 p_n^(3/2)/n 趋零时成立。
- 阅读关注点
- 应核对矩条件、参数化与线性近似中样本均值的定义，并区分整体误差、单坐标近似和似然比极限的要求。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 摘要；具体矩条件和参数化细节未列出，所述维数限制不能脱离条件用于任意高维模型。
原文摘要
Consider a sample of size $n$ from a regular exponential family in $p_n$ dimensions. Let $\hat\theta_n$ denote the maximum likelihood estimator, and consider the case where $p_n$ tends to infinity with $n$ and where $\{\theta_n\}$ is a sequence of parameter values in $R^{p_n}$. Moment conditions are provided under which $\|\hat\theta_n - \theta_n\| = O_p(\sqrt{p_n/n})$ and $\|\hat\theta_n - \theta_n - \overline{X}_n\| = O_p (p_n/n)$, where $\overline{X}_n$ is the sample mean. The latter result provides normal approximation results when $p^2_n/n \rightarrow 0$. It is shown by example that even for a single coordinate of $(\hat\theta_n - \theta_n), p^2_n/n \rightarrow 0$ may be needed for normal approximation. However, if $p^{3/2}_n/n \rightarrow 0$, the likelihood ratio test statistic $\Lambda$ for a simple hypothesis has a chi-square approximation in the sense that $(-2 \log \Lambda - p_n)/\sqrt{2p_n} \rightarrow_D \mathscr{N}(0, 1)$.