Empirical risk minimization in inverse problems
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逆问题中的经验风险最小化
- 研究问题
- 只能观察未知函数经过已知线性算子变换后的信号时，如何估计原函数，并刻画算子与函数类对估计难度的影响？
- 方法与思路
- 作者在高斯白噪声和密度估计模型中构造平方可积经验风险，定义离散网与稠密最小化估计量，并推导风险上下界。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，风险界体现逆算子伴随算子的范数及函数类熵的作用；卷积与拉东变换示例达到最优收敛率，并给出加性模型预言不等式。
- 阅读关注点
- 应核对算子可逆性与范数条件、函数类熵限制、两类最小化估计量的可实现性，以及上下界匹配和预言不等式的范围。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；具体函数空间、正则条件和数值实现未说明，不能将示例的最优收敛率推广至所有逆问题。
原文摘要
We study estimation of a multivariate function f : Rd→R when the observations are available from the function Af, where A is a known linear operator. Both the Gaussian white noise model and density estimation are studied. We define an L2-empirical risk functional which is used to define a δ-net minimizer and a dense empirical risk minimizer. Upper bounds for the mean integrated squared error of the estimators are given. The upper bounds show how the difficulty of the estimation depends on the operator through the norm of the adjoint of the inverse of the operator and on the underlying function class through the entropy of the class. Corresponding lower bounds are also derived. As examples, we consider convolution operators and the Radon transform. In these examples, the estimators achieve the optimal rates of convergence. Furthermore, a new type of oracle inequality is given for inverse problems in additive models.