Properties of Hermite Series Estimation of Probability Density
概率密度的 Hermite 级数估计性质AI 解读 ↓
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概率密度的 Hermite 级数估计性质
- 研究问题
- 如何利用独立同分布样本的 Hermite 级数估计未知密度、密度导数和特征函数，其均方收敛性质如何依赖函数条件？
- 方法与思路
- 作者以样本中的 Hermite 函数均值估计展开系数，通过级数截断估计密度及其导数，并利用傅里叶变换估计特征函数。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称给出密度导数与特征函数估计的积分均方收敛率，并在其他函数条件下得到类似结果及一致均方收敛性质。
- 阅读关注点
- 应核对级数截断规则、光滑性与可积性要求，尤其确认收敛率指数及算子条件的原始排版，避免由记号歧义推导结论。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明；收敛率中分式指数与算子记号需查阅原文确认，不能据此补造具体速率或适用密度类。
原文摘要
An unknown density function $f(x)$, its derivatives, and its characteristic function are estimated by means of Hermite functions $\{h_j\}$. The estimates use the partial sums of series of Hermite functions with coefficients $\hat{a}_{jn} = (1/n) \sum^n_{i=1} h_j(X_i)$ where $X_1\cdots X_n$ represent a sequence of i.i.d. random variables with the unknown density function $f$. The integrated mean square rate of convergence of the $p$th derivative of the estimate is $O(n^{(p/r) + (5/6r)-1})$. The same is true for the Fourier transform of the estimate to the characteristic function. Here the assumption is made that $(x - D)^r f \in L^2$ and $p < r$. Similar results are obtained for other conditions on $f$ and uniform mean square convergence.