Phase transitions in nonparametric regressions
非参数回归中的相变AI 解读 ↓
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非参数回归中的相变
- 研究问题
- 在一元回归函数具有高阶有界导数时，最小极大积分均方误差速率是否随样本量和光滑阶数的关系出现不同区间？
- 方法与思路
- 作者建立光滑函数类的度量熵界，并据此推导不同样本量区间的最小极大误差速率及应当利用的光滑阶数。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，小样本相对光滑阶数的区间具有不同于传统表达的最优速率，所建度量熵界还改进或推广了部分已有结果。
- 阅读关注点
- 应核对样本量阈值与光滑阶数的关系、函数类和设计设定，以及速率界中的常数是否随光滑阶数变化。
- 阅读边界
- 这是预印本，同行评审及期刊接收未核实。摘要未完整说明回归实验、噪声和函数类条件，不能据此否定传统速率的适用范围。
原文摘要
When the unknown regression function of a single variable is known to have derivatives up to the $(γ+1)$th order bounded in absolute values by a common constant everywhere or a.e. (i.e., $(γ+1)$th degree of smoothness), the minimax optimal rate of the mean integrated squared error (MISE) is stated as $\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{2γ+2}{2γ+3}}$ in the literature. This paper shows that: (i) if $n\leq\left(γ+1\right)^{2γ+3}$, the minimax optimal MISE rate is $\frac{\log n}{n\log(\log n)}$ and the optimal degree of smoothness to exploit is roughly $\max\left\{ \left\lfloor \frac{\log n}{2\log\left(\log n\right)}\right\rfloor ,\,1\right\} $; (ii) if $n>\left(γ+1\right)^{2γ+3}$, the minimax optimal MISE rate is $\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{2γ+2}{2γ+3}}$ and the optimal degree of smoothness to exploit is $γ+1$. The fundamental contribution of this paper is a set of metric entropy bounds we develop for smooth function classes. Some of our bounds are original, and some of them improve and/or generalize the ones in the literature (e.g., Kolmogorov and Tikhomirov, 1959). Our metric entropy bounds allow us to show phase transitions in the minimax optimal MISE rates associated with some commonly seen smoothness classes as well as non-standard smoothness classes, and can also be of independent interest outside the nonparametric regression problems.