Asymptotic Properties of Tests Based on Linear Combinations of the Orthogonal Components of the Cramer-Von Mises Statistic
基于 Cramér–von Mises 统计量正交分量线性组合的检验渐近性质AI 解读 ↓
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基于 Cramér–von Mises 统计量正交分量线性组合的检验渐近性质
- 研究问题
- 研究如何组合均匀分布拟合优度统计量的正交分量，在给定局部备择方向下提高检验能力，并在拒绝后选择候选密度。
- 方法与思路
- 作者用正交基函数构造样本统计量，按局部备择方向的投影确定线性组合权重，分析分量数与样本量增长时的性质。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，这类加权检验在所给局部备择与增长框架下渐近最有力，并计算功效和效率，另提出拒绝原假设后的密度选择程序。
- 阅读关注点
- 应核对局部备择的可容许条件、分量数增长要求、权重是否依赖已知备择，以及拒绝后的密度选择程序如何校准。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明。最有力结论限定于所给局部备择与权重构造，不能推断对未知方向或所有备择均最优。
原文摘要
Let $X_1, X_2, \cdots, X_n$ be independent identically distributed random variables defined on the unit interval. The generalized $j$th orthogonal component is defined as $V_{nj} = n^{-\frac{1}{2}} \sum^n_{i = 1} d_j(X_i),$ where $\{1, d_1, d_2, \cdots\}$ is an orthonormal basis for $\mathscr{L}_2(\lbrack 0, 1\rbrack).$ These statistics are a generalization of the orthogonal components of the Cramer-von Mises statistic [2]. Linear combinations of the $V_{nj}$ are applied to the problem of testing the null hypothesis of a uniform distribution against the alternative density $p_n(x) = 1 + h(x)/n^\frac{1}{2} + k_n(x)/n$ where $h(x)$ is square integrable and $k_n(x)$ is dominated by a square integrable function. When $a_j = \int h(x) d_j(x) dx,$ tests based on $\sum^m_{j = 1} a_j V_{nj}$ are shown to be asymptotically most powerful as $\min (m, n) \rightarrow \infty.$ The asymptotic power and efficiency of these tests are computed. A procedure is developed for choosing among possible density functions when a goodness-of-fit test rejects the null hypothesis.