Saddlepoint approximations for the normalizing constant of Fisher-Bingham distributions on products of spheres and Stiefel manifolds
球面乘积与 Stiefel 流形上 Fisher–Bingham 分布归一化常数的鞍点近似AI 解读 ↓
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球面乘积与 Stiefel 流形上 Fisher–Bingham 分布归一化常数的鞍点近似
- 研究问题
- 如何为球面笛卡尔积及 Stiefel 流形上的 Fisher–Bingham 分布计算归一化常数，并评价高维情形的近似表现？
- 方法与思路
- 作者将归一化常数的近似转化为正态变量若干二次型联合分布的多元鞍点密度近似，分别考虑一阶与二阶方案。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，方法将先前球面上的处理扩展至更一般的几何空间，并提供算法、数值结果及理论性质，所考察实例表现良好。
- 阅读关注点
- 应核对从几何空间积分到二次型分布的联系、一阶与二阶近似的误差条件，以及高维数值评价所用的基准。
- 阅读边界
- 索引摘要版本未注明，未说明具体误差界或数值精度；所考察实例的良好表现不能推广为所有参数下的保证，也不能推断刊本变化。
原文摘要
In an earlier paper Kume & Wood (2005) showed how the normalizing constant of the Fisher–Bingham distribution on a sphere can be approximated with high accuracy using a univariate saddlepoint density approximation. In this sequel, we extend the approach to a more general setting and derive saddlepoint approximations for the normalizing constants of multicomponent Fisher–Bingham distributions on Cartesian products of spheres, and Fisher–Bingham distributions on Stiefel manifolds. In each case, the approximation for the normalizing constant is essentially a multivariate saddlepoint density approximation for the joint distribution of a set of quadratic forms in normal variables. Both first-order and second-order saddlepoint approximations are considered. Computational algorithms, numerical results and theoretical properties of the approximations are presented. In the challenging high-dimensional settings considered in this paper the saddlepoint approximations perform very well in all examples considered.