Testing composite hypotheses, Hermite polynomials and optimal estimation of a nonsmooth functional
复合假设检验、Hermite 多项式与非光滑泛函的最优估计AI 解读 ↓
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复合假设检验、Hermite 多项式与非光滑泛函的最优估计
- 研究问题
- 在高维正态均值模型中，如何估计均值绝对值的平均这一非光滑泛函，并获得传统光滑泛函分析难以提供的尖锐极小极大结论？
- 方法与思路
- 作者通过两个复合假设的检验构造风险下界，设计特殊先验并控制正态混合间的卡方距离，再结合逼近理论与 Hermite 多项式构造估计量。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称建立了通用泛函估计下界，并在均值有界的情形构造渐近尖锐极小极大估计量，其渐近风险常数涉及 Bernstein 常数。
- 阅读关注点
- 应核对损失函数、均值界的设定、特殊先验构造和逼近误差控制，以及下界与估计量风险如何达到相同渐近常数。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的索引摘要；具体证明和其他泛函的适用条件未提供，不能把有界均值下的最优性扩展至任意参数空间。
原文摘要
A general lower bound is developed for the minimax risk when estimating an arbitrary functional. The bound is based on testing two composite hypotheses and is shown to be effective in estimating the nonsmooth functional (1/n)∑|θi| from an observation Y∼N(θ, In). This problem exhibits some features that are significantly different from those that occur in estimating conventional smooth functionals. This is a setting where standard techniques fail to yield sharp results. A sharp minimax lower bound is established by applying the general lower bound technique based on testing two composite hypotheses. A key step is the construction of two special priors and bounding the chi-square distance between two normal mixtures. An estimator is constructed using approximation theory and Hermite polynomials and is shown to be asymptotically sharp minimax when the means are bounded by a given value M. It is shown that the minimax risk equals β∗2M2(log log n/log n)2 asymptotically, where β∗ is the Bernstein constant. The general techniques and results developed in the present paper can also be used to solve other related problems.