Comparison and anti-concentration bounds for maxima of Gaussian random vectors
高斯随机向量最大值的比较界与反集中界AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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反馈分类问题
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代码、数据与补充材料
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高斯随机向量最大值的比较界与反集中界
- 研究问题
- 在不施加额外协方差矩阵限制时，如何比较高斯向量最大值的分布，并控制其集中于狭窄区间的概率？
- 方法与思路
- 作者给出最大值平滑函数期望及分布函数的显式比较界，建立反集中不等式，并应用于高维条件乘子中心极限定理。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称反集中界不显式依赖维度并适用于任意协方差矩阵，可用于控制最大值分布间的 Kolmogorov 距离。
- 阅读关注点
- 应核对比较界中的协方差差异度量、反集中界的其他依赖项，以及条件乘子中心极限定理所需的矩条件和维度限制。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此确认同行评审或期刊接收；摘要未给出界的具体形式，维度无关也不代表没有其他条件。
原文摘要
Slepian and Sudakov-Fernique type inequalities, which compare expectations of maxima of Gaussian random vectors under certain restrictions on the covariance matrices, play an important role in probability theory, especially in empirical process and extreme value theories. Here we give explicit comparisons of expectations of smooth functions and distribution functions of maxima of Gaussian random vectors without any restriction on the covariance matrices. We also establish an anti-concentration inequality for the maximum of a Gaussian random vector, which derives a useful upper bound on the Lévy concentration function for the Gaussian maximum. The bound is dimension-free and applies to vectors with arbitrary covariance matrices. This anti-concentration inequality plays a crucial role in establishing bounds on the Kolmogorov distance between maxima of Gaussian random vectors. These results have immediate applications in mathematical statistics. As an example of application, we establish a conditional multiplier central limit theorem for maxima of sums of independent random vectors where the dimension of the vectors is possibly much larger than the sample size.