Variable-Length Markov Chains on Finite Quivers: Boundary-Window Identifiability, Exact Depth, and Local Rank Comparison
有限箭图上的变长马尔可夫链：边界窗口识别、精确深度与局部秩比较AI 解读 ↓
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分类依据与纠错
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有限箭图上的变长马尔可夫链：边界窗口识别、精确深度与局部秩比较
- 研究问题
- 有限边界窗口能揭示多少上下文依赖的转移信息？作者研究可见深度如何影响一阶局部识别，以及何时较粗窗口必然丢失信息。
- 方法与思路
- 作者构造平稳可见一步转移的信息映射，在指定切空间上比较微分秩，并利用精确深度映射的光滑分解与商空间刻画粗化损失。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，边同质情形下各可见深度的一阶秩相同；精确深度情形下粗化不能增加秩，并给出严格秩损失与最小识别深度的条件。
- 阅读关注点
- 应核对可见支持、表示假设及切空间限制的具体定义，区分一阶秩识别与完整统计识别，并检查最小深度定理所需的额外条件。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，不能据此确认同行评审或期刊接收。摘要明确将统计及局部渐近正态结论置于额外假设下，未说明这些假设细节。
原文摘要
Variable-length Markov chains on finite quivers provide a natural framework for context-dependent stochastic growth under incidence constraints. I study quiver-valued variable-length Markov chains observed through finite boundary windows and develop a first-order theory of visible-depth identifiability via stationary visible one-step transition laws and their restricted differentials on prescribed tangent blocks. For visible depth $m$, the main object is the stationary one-step informative map $q_{\mathcal{Q}}^{(m)}$. In the edge-homogeneous regime, once the local visible support is fixed and the representation hypothesis holds, all admissible visible depths encode the same edge-level extension law and hence have the same first-order rank. In the exact-depth regime of context length $r$, the depth-$r$ boundary process is the canonical finite-state Markov chain, smaller visible windows are deterministic truncations, and every coarser informative map factors $C^1$-smoothly through the depth-$r$ informative map on the relevant affine transition-array neighborhood. Hence rank cannot increase beyond depth $r$. After quotienting a tangent block by directions already invisible at depth $r$, I characterize strict coarse-depth loss exactly by coarse rank deficiency, equivalently by strict rank drop from depth $r$ to depth $m$ on the original block. I also give subspace-based and global selected-coordinate criteria, a global one-coordinate branching criterion, and an explicit depth-two example. Under full fine-depth rank and strict coordinate-rank loss at every smaller depth, a global coordinate-rank theorem yields $m_*(T,θ_0)=r$. Reduced local coordinates remove stochastic redundancies, first-order criteria are invariant under $C^1$ reparameterization, and the statistical and LAN consequences remain conditional on additional estimation and likelihood-level hypotheses.