THE EXACT CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION OF A RATIO OF QUADRATIC FORMS IN NORMAL VARIABLES, WITH APPLICATION TO THE AR(1) MODEL
正态变量二次型之比的精确累积分布函数及其 AR(1) 应用AI 解读 ↓
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正态变量二次型之比的精确累积分布函数及其 AR(1) 应用
- 研究问题
- 简单统计量的精确累积分布函数为何可能复杂或不解析？正态变量二次型之比及特定 AR(1) 估计量的精确分布能否闭式表达？
- 方法与思路
- 作者先用微分几何分析累积分布函数的解析性质，再推导正态变量二次型之比的精确分布，并用于零初始值高斯 AR(1) 模型。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，论文得到该比值分布的闭式解，并说明某些非解析点由统计量自身决定；AR(1) 自回归参数估计量呈现这些性质。
- 阅读关注点
- 应核对二次型矩阵的限制、闭式表达的适用范围与计算方式，以及零初始值、高斯性和非解析点在 AR(1) 应用中的作用。
- 阅读边界
- 所给 Crossref 摘要未展示公式和完整条件，不能核验“首次闭式解”的优先性，也不能推广至任意初始值或非高斯模型。
原文摘要
Often neither the exact density nor the exact cumulative distribution function (c.d.f.) of a statistic of interest is available in the statistics and econometrics literature (e.g., the maximum likelihood estimator of the autocorrelation coefficient in a simple Gaussian AR(1) model with zero start-up value). In other cases the exact c.d.f. of a statistic of interest is very complicated despite the statistic being “simple” (e.g., the circular serial correlation coefficient, or a quadratic form of a vector uniformly distributed over the unit n -sphere). The first part of the paper tries to explain why this is the case by studying the analytic properties of the c.d.f. of a statistic under very general assumptions. Differential geometric considerations show that there can be points where the c.d.f. of a given statistic is not analytic, and such points do not depend on the parameters of the model but only on the properties of the statistic itself. The second part of the paper derives the exact c.d.f. of a ratio of quadratic forms in normal variables, and for the first time a closed form solution is found. These results are then specialized to the maximum likelihood estimator of the autoregressive parameter in a Gaussian AR(1) model with zero start-up value, which is shown to have precisely those properties highlighted in the first part of the paper.