An $\ell_{\infty}$ Eigenvector Perturbation Bound and Its Application to Robust Covariance Estimation
最大范数特征向量扰动界及其在稳健协方差估计中的应用AI 解读 ↓
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最大范数特征向量扰动界及其在稳健协方差估计中的应用
- 研究问题
- 当低秩矩阵受到噪声或抽样误差扰动时，如何控制特征向量的逐坐标误差，并将这一结果用于重尾数据的协方差估计？
- 方法与思路
- 作者在低秩与非相干结构下推导特征向量或奇异向量的最大范数扰动界，再据此构造稳健协方差估计量并分析其渐近性质。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称相应扰动界具有维度平方根量级的改善，并提出重尾情形下的稳健协方差估计方法，以数值实验检验理论结果。
- 阅读关注点
- 应核对非相干性、谱间隙与扰动大小的限制，以及维度改善所比较的基准界、重尾矩条件和协方差估计的具体构造。
- 阅读边界
- 所给版本为 arXiv 预印本，同行评审与期刊接收未经核验；摘要未给出完整扰动条件，不能据此推断任意矩阵均有相同改善。
原文摘要
In statistics and machine learning, people are often interested in the eigenvectors (or singular vectors) of certain matrices (e.g. covariance matrices, data matrices, etc). However, those matrices are usually perturbed by noises or statistical errors, either from random sampling or structural patterns. One usually employs Davis-Kahan $\sin θ$ theorem to bound the difference between the eigenvectors of a matrix $A$ and those of a perturbed matrix $\widetilde{A} = A + E$, in terms of $\ell_2$ norm. In this paper, we prove that when $A$ is a low-rank and incoherent matrix, the $\ell_{\infty}$ norm perturbation bound of singular vectors (or eigenvectors in the symmetric case) is smaller by a factor of $\sqrt{d_1}$ or $\sqrt{d_2}$ for left and right vectors, where $d_1$ and $d_2$ are the matrix dimensions. The power of this new perturbation result is shown in robust covariance estimation, particularly when random variables have heavy tails. There, we propose new robust covariance estimators and establish their asymptotic properties using the newly developed perturbation bound. Our theoretical results are verified through extensive numerical experiments.