Variance or Standard Deviation? Shell Geometry and Global-Scale Priors in High-Dimensional Shrinkage
方差还是标准差？高维收缩中的壳层几何与全局尺度先验AI 解读 ↓
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方差还是标准差？高维收缩中的壳层几何与全局尺度先验
- 研究问题
- 高维高斯收缩中，对共同尺度的方差或标准差采用平坦先验，为何会改变零尺度附近的概率质量及不同信号区间的风险？
- 方法与思路
- 作者以径向幂基准分析高维几何和渐近风险，再按标准差尺度密度在零点附近的指数，讨论适当先验与坐标乘子混合。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，标准差平坦基准在原点附近具有风险优势，临界区出现交叉，强信号下二阶等价；部分先验类别继承这些极限。
- 阅读关注点
- 应核对损失函数、维度与信号的渐近设定，以及基准风险差异的适用范围；重点检查近零指数与局部尾部的不同作用。
- 阅读边界
- 这是 arXiv 预印本，同行评审及期刊接收未核实；摘要未列出风险公式和完整正则条件，不能据此断言某类先验普遍更优。
原文摘要
We study how the choice of default prior for a common Gaussian scale affects high-dimensional shrinkage risk, highlighting the role played by high-dimensional geometry. Formally, we consider a high-dimensional setting in which the near-zero behavior of the common scale prior has first-order consequences for shrinkage risk, and show that priors that are flat on the variance and those flat on the standard deviation allocate markedly different mass near the zero-scale boundary, leading to distinct shrinkage behavior and informing principled default prior selection. Specifically, under a radial-power benchmark, we establish that the SD-flat benchmark has a one-unit asymptotic risk advantage near the origin, crosses over in the critical regime, and is second-order equivalent to the variance-flat benchmark for strong signals. Proper single global-scale hyperpriors and bounded coordinate-multiplier mixtures inherit these limits through the near-zero exponent of their SD-scale density. For heavier-tailed or sparse priors, that exponent still classifies the common global-scale component, while local-scale tails, model-size priors, or allocation priors can also affect risk.