A Bayesian Solution to the Multivariate Behrens—Fisher Problem
多元 Behrens–Fisher 问题的贝叶斯解法AI 解读 ↓
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多元 Behrens–Fisher 问题的贝叶斯解法
- 研究问题
- 当两个多元正态总体的协方差矩阵不必相等时，如何计算两组均值差落入椭球区域的后验概率，并获得便捷近似？
- 方法与思路
- 作者构造类似 Hotelling 统计量的量，将其分布函数表示为若干 F 分布函数的线性组合，以一维数值积分计算后验概率。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，该表示支持共轭或弥散先验下的概率计算，并给出多元 t 分布卷积结果、概率界及计算较省时的近似。
- 阅读关注点
- 应核对先验设定、椭球定义、分布表示与卷积结果的条件，并查看数值积分精度、概率界和近似误差的评价。
- 阅读边界
- 仅据 OpenAlex 索引摘要，稿件版本未注明；统计量上标排版需查原文，摘要未说明完整先验条件及近似误差，不能重构公式。
原文摘要
We consider the problem of finding the posterior probabilities of ellipsoids for the difference between two multivariate normal means. We do not require the two population covariance matrices to be equal, therefore, our results pertain to the multivariate Behrens—Fisher problem. A Hotelling T 2-like quantity is defined, and its cdf is expressed as a linear combination of the cdf's of some F distributions. This representation enables us to compute desired probabilities exactly using only one-dimensional numerical integrations. The calculation can easily be done with natural conjugate priors as well as with diffuse priors. Our main theoretical result, concerning convolutions of multivariate t distributions, is of some general interest. For the univariate case, we suggest a much simpler proof than that of Ruben (1960). We also give some bounds and approximations for the posterior probabilities of ellipsoids. The computation of these approximations requires much less computer time than the computation of the exact probabilities, even though the latter are quite straightforward. A numerical example and comments regarding the computation establish that this is an easily implemented approach to the analysis of the multivariate Behrens—Fisher problem.