Asymptotic distributions of largest Pearson correlation coefficients under dependent structures
依赖结构下最大 Pearson 相关系数的渐近分布AI 解读 ↓
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依赖结构下最大 Pearson 相关系数的渐近分布
- 研究问题
- 多元样本具有自回归或一般 Toeplitz 协方差结构时，样本相关矩阵最大非对角元素的极限分布如何变化？
- 方法与思路
- 作者从具有 Toeplitz 协方差的多元正态样本出发，分析自回归结构下的分布相变，并研究超高维和非高斯扩展。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称，自回归结构下出现不同 Gumbel 型极限及临界分布；一般 Toeplitz 情形得到另一极限，并用于构造检验。
- 阅读关注点
- 阅读全文时应核对维度与样本量增长关系、相变阈值、不同极限分布的条件，以及非高斯扩展和新检验的适用范围。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 索引摘要；摘要未给出阈值公式或完整条件，协方差具有自回归形式也不等于样本是时间序列。
原文摘要
Given a random sample from a multivariate normal distribution whose covariance matrix is a Toeplitz matrix, we study the largest off-diagonal entry of the sample correlation matrix. Assuming the multivariate normal distribution has the covariance structure of an autoregressive sequence, we establish a phase transition in the limiting distribution of the largest off-diagonal entry. We show that the limiting distributions are of Gumbel-type (with different parameters), depending on how large or small the parameter of the autoregressive sequence is. At the critical case, we obtain that the limiting distribution is the maximum of two independent random variables of Gumbel distributions. This phase transition establishes the exact threshold at which the autoregressive covariance structure behaves differently than its counterpart with the covariance matrix equal to the identity. Assuming the covariance matrix is a general Toeplitz matrix, we obtain the limiting distribution of the largest entry under the ultrahigh-dimensional settings: it is a weighted sum of two independent random variables, one normal and the other following a Gumbel-type law. The counterpart of the non-Gaussian case is also discussed. We use our results to obtain new testing procedures for some problems in high-dimensional statistics.