Inadmissibility of the Empirical Distribution Function in Continuous Invariant Problems
连续不变决策问题中经验分布函数的不可容许性AI 解读 ↓
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连续不变决策问题中经验分布函数的不可容许性
- 研究问题
- 在估计未知连续分布函数的不变决策问题中，最佳不变估计量何时仍不可容许，经验分布函数是否也存在这一情况？
- 方法与思路
- 作者在由分布函数及其补值的幂加权的积分平方损失下，分析样本量和权重指数的不同范围，证明最佳不变估计量不可容许。
- 材料陈述的贡献
- 摘要列出若干不可容许情形；特别称，两项权重指数均为负一且样本量至少为三时，经验分布函数虽最佳不变却不可容许。
- 阅读关注点
- 应核对损失的定义域、权重指数与样本量条件，并查看支配估计量的构造，辨清最佳不变性和可容许性两个概念。
- 阅读边界
- 仅据版本未注明的 OpenAlex 摘要；支配估计量及证明未提供，不可容许结论依赖指定损失与条件，不能推广为经验分布函数普遍较差。
原文摘要
Consider the classical invariant decision problem of estimating an unknown continuous distribution function $F,$ with the loss function $L(F, a) = \int(F(t) - a(t))^2\lbrack F(t) \rbrack^\alpha \lbrack 1 - F(t) \rbrack^\beta dF(t),$ and a random sample of size $n$ from $F.$ It is proved that the best invariant estimator is inadmissible when: 1. $ n > 0, - 1 < \alpha, \beta \leq 0 \text{and} -1 \leq \alpha + \beta.$ 2. $ n > 0, -1 < \alpha = \beta \leq - \frac{1}{2}.$ 3. $ n > 1, (\mathrm{i}) \alpha = -1 \text{and} \beta = 0, \text{or} (\mathrm{ii}) \alpha = 0 \text{and} \beta = -1.$ 4. $ n > 2, \alpha = \beta = -1.$ Thus the empirical distribution function, which is the best invariant estimator when $\alpha = \beta = -1,$ is inadmissible when $n \geq 3.$ This extends some results of Brown.