An Approximate Inverse for the Covariance Matrix of Moving Average and Autoregressive Processes
移动平均与自回归过程协方差矩阵的近似逆AI 解读 ↓
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移动平均与自回归过程协方差矩阵的近似逆
- 研究问题
- 对具有连续正谱密度的平稳序列，如何利用谱密度倒数构造协方差矩阵的近似逆，并理解移动平均和自回归模型中的误差？
- 方法与思路
- 作者以谱密度倒数的傅里叶积分构造矩阵，研究其与协方差矩阵相乘后的偏差、特征根及相关二次型的统计性质。
- 材料陈述的贡献
- 摘要称在有限阶移动平均或自回归情形下，矩阵乘积偏差具有内部零结构，并在所述根条件下研究特征根的极限性质。
- 阅读关注点
- 应核对谱密度与矩阵的归一化、行列零结构和边界项，以及根条件的表述；末段二次型符号须先与原 PDF 对照。
- 阅读边界
- 索引摘要版本未注明，末段二次型含疑似符号损坏；需查原 PDF，不能补写相关公式，也不能把近似逆直接视为精确逆。
原文摘要
Let $\mathbf{\Sigma}$ denote the convariance matrix of a vector $\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_T)'$ of $T$ successive observations from a stationary process $\{ x_t\}$ with continuous positive spectral density $f(\lambda)$. Let $\mathbf{\Gamma}$ be the $T \times T$ matrix with elements $\gamma(s, t) = (2\pi)^{-2} \int^\pi_{-\pi} e^{i\lambda (s-t)} f^{-1}(\lambda) d\lambda$. The properties of $\mathbf{\Gamma}$ considered as an approximate inverse of $\mathbf{\Sigma}$ are studied. When $\{ x_t\}$ is a$(n)$ moving average (autoregressive) process of order $q$, rows (columns) $q + 1, \cdots, T - q$ of $\mathbf{\Sigma\Gamma} - \mathbf{I}$ are zero vectors. In this case $\mathbf{\Sigma\Gamma} - \mathbf{I}$ has $2q$ positive characteristic roots which approach paired positive limiting values as $T \rightarrow \infty$ if the roots of $\sum^q_{j=0} \beta_j z^{q-j} = 0$ are less than 1 in absolute value, where $\beta_1, \cdots, \beta_q$ are the coefficients of the process. Statistical properties of $\mathbf{x'Tx} - \mathbf{x'\Sigma}^{-1} \mathbf{x}$ and $\mathbf{x'\Gamma x}/ \mathbf{x'\Sigma}^{-1} \mathbf{x}$ are also discussed.